Здесь верно: Папа Римский; папа Франциск.
Название движения следует писать в кавычках.
Оба названия склоняются: живу в Осаке, гулял по Лиллю.
Предлог во выступает перед формами слов, начинающимися сочетаниями «в, ф + согласный», а предлог в – перед формами слов, начинающимися сочетаниями «в, ф + гласный». Ср.: во Франции, но: в Финляндии, во Владимире, но: в Венеции, во власти, но: в виде. Предлог во также последовательно выступает перед формами слов лев, лёд, лён, лоб, ложь, мох, ров, рожь, рот, перед формой мне и формами слов многие, многое, множество, множественный, перед формой что.
Франциско Костой и Коста.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.
Верно: обучалась в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины, являюсь членом общественного объединения.